双曲型(Hyperbolic type) PDE

2025/07/09 | 最終更新 2025/07/09

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偏微分方程式（PDE），特に今学習されている双曲型(Hyperbolic type) PDEについて，一番最初の「そもそもPDEとは何か？」という部分から，解法，そしてその物理的な意味まで，順を追って丁寧に解説します．

1. そもそも偏微分方程式(PDE)とは？

まず，常微分方程式(ODE)との違いから始めましょう．

常微分方程式 (ODE): 独立変数が1つだけの微分方程式．例：物体の運動 $md^2x/dt^2 = F$．変数は時間$t$のみ．

偏微分方程式 (PDE): 独立変数が2つ以上ある微分方程式．例：海の波の高さ $u$．波の高さは，場所$x$と時間$t$の両方によって変わります．この$u(x, t)$に関する方程式がPDEです．

PDEは，物理現象，工学，金融など，時間と空間（あるいはそれ以上の変数）の中で変化する量を記述するための言語なのです．

2. なぜPDEを分類するのか？ (双曲型・放物型・楕円型)

2階線形のPDEは，その性質によって大きく3種類に分類されます．

$$A u_{xx} + B u_{xy} + C u_{yy} + \cdots = 0$$

この式の係数から判別式 $\Delta = B^2 - 4AC$ を計算し，その符号によって分類します．

双曲型 (Hyperbolic, $\Delta > 0$):
- 性質: 波の伝播を記述する．情報は有限の速さで伝わる．
- 代表例: 波動方程式 $u_{tt} - c^2 u_{xx} = 0$
- イメージ: 水面に石を投げた時の波紋の広がり．
放物型 (Parabolic, $\Delta = 0$):
- 性質: 熱や物質の拡散を記述する．情報は瞬時に（ただし非常に弱く）無限遠まで伝わり，時間と共に滑らかになっていく．
- 代表例: 熱伝導方程式 $u_t - k u_{xx} = 0$
- イメージ: 熱い鉄の棒の熱がじわじわと冷たい方へ伝わる様子．
楕円型 (Elliptic, $\Delta < 0$):
- 性質: 定常状態や平衡状態を記述する．時間変化を含まず，ある領域の内部の状態は，その領域の境界全体によって決まる．
- 代表例: ラプラス方程式 $u_{xx} + u_{yy} = 0$
- イメージ: ゴム膜の縁を固定したときの，膜全体のつり合いの形．

このように分類することで，方程式を見ただけで「これは波の問題だな」「これは熱の問題だな」と現象の性質を理解でき，適切な解法を選択できるようになります．

3. 双曲型PDEの解法：波動方程式とダランベールの解

ここからが本題です．双曲型PDEの最も代表的な例である，1次元波動方程式の解法を見ていきましょう．

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

ここで，$u(x,t)$は位置$x$，時刻$t$における弦の変位などを，$c$は波の伝わる速さを表します．

ダランベールの解法（特性座標法）

この方程式を解くための，非常にエレガントな方法がダランベールの解法です．

ステップ1：変数変換 新しい変数（特性座標）$\xi$ (クシー) と $\eta$ (イータ) を導入します．

$$\begin{aligned} \xi &= x + ct \\ \eta &= x - ct \end{aligned}$$

$\xi$は速さ$c$で左に進む座標系，$\eta$は速さ$c$で右に進む座標系と解釈できます．

ステップ2：連鎖律（Chain Rule）で微分を変換 $u$を$\xi$と$\eta$の関数とみなし，$\partial/\partial x$と$\partial/\partial t$を$\partial/\partial \xi$と$\partial/\partial \eta$で書き直します．（計算は少し複雑ですが，結果は以下のようになります）

$$\frac{\partial^2}{\partial t^2} - c^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \quad \longrightarrow \quad -4c^2 \frac{\partial^2}{\partial \xi \partial \eta}$$

すると，元の複雑な波動方程式は，信じられないほど簡単な形になります．

$$-4c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2 u}{\partial \xi \partial \eta} = 0$$

ステップ3：積分して解を求める この簡単な式を積分していきます．まず$\eta$で積分する：$\frac{\partial u}{\partial \xi} = \phi(\xi)$ （$\phi(\xi)$は$\xi$だけの任意の関数）次に$\xi$で積分する：$u(\xi, \eta) = \int \phi(\xi)d\xi + G(\eta)$ $\int \phi(\xi)d\xi$も$\xi$だけの任意の関数なので，これを$F(\xi)$と書き直すと，

$$u(\xi, \eta) = F(\xi) + G(\eta)$$

ステップ4：元の変数に戻す 最後に，$\xi=x+ct$と$\eta=x-ct$を代入して，元の$x, t$の世界に戻します．

$$u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)$$

これが波動方程式の一般解で，ダランベールの解と呼ばれます．

4. ダランベールの解の物理的意味

この解 $u(x,t) = F(x+ct) + G(x-ct)$ は，非常に明快な物理的意味を持っています．

$G(x-ct)$: $t=0$のときの波の形が$G(x)$で，それが形を変えずに速さ$c$で右方向へ進んでいく波を表します．
$F(x+ct)$: $t=0$のときの波の形が$F(x)$で，それが形を変えずに速さ$c$で左方向へ進んでいく波を表します．

つまり，双曲型PDE（波動方程式）の解は，**互いに逆方向に進む2つの波の重ね合わせ（足し算）**で表現できる，ということを示しています．

5. 具体例：弦を弾く問題

無限に長い弦を考え，時刻$t=0$で以下のような初期状態を与えます．

初期位置: $u(x,0) = f(x)$ （弦の最初の形）
初期速度: $u_t(x,0) = g(x)$ （弦の各点の最初の速度）

この初期条件をダランベールの解に適用すると，$F$と$G$は初期条件$f, g$を使って書き表せ，最終的に以下の解が得られます．

$$u(x,t) = \frac{1}{2}\left[ f(x+ct) + f(x-ct) \right] + \frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct} g(s)ds$$

これが初期値問題の完全な解です．

例：弦をそっと離す場合 ($g(x)=0$)

初期速度が0の場合，解はさらに簡単になります．

$$u(x,t) = \frac{1}{2}\left[ f(x+ct) + f(x-ct) \right]$$

これは，**「最初の波形$f(x)$が，半分の高さを持つ2つの波に分裂し，それぞれが左右に伝播していく」**ことを意味します．

もし最初の形$f(x)$が三角形だったら，半分の高さの三角形が2つ，左右にサーッと広がっていく様子が，この式から見て取れるのです．これが双曲型PDEが描く「波の伝播」の具体的な姿です．